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# Ficha 1
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# Exercício 1
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# Alínea a)
# ---------

# Criar vector com os dados.
ni <- c("Noz"=12,"Avelã"=8,"Amêndoa"=9,"Pinhão"=4,"Caju"=7,"Amendoim"=10)

# Gráfico de barras.
bp = barplot(ni,ylim=c(0,20),main="Fruto preferido")

# Adicionar valores de ni no topo das barras.
nis <- as.vector(ni) # as.vector(x) não copia nomes de x.
text(bp,nis+1,labels=as.character(ni)) # as.character(x) converte x para texto.
 


# Alínea b)
# ---------

# Gráfico circular simples.
pie(ni,main="Fruto preferido")

# Gráfico circular com percentagens:
xi <- names(ni)
n <- sum(ni)
pct <- round(ni/n*100)
# Nota: paste() concatena vectores depois de convertê-los para caracteres.
e <- paste(xi," (",pct,"%)",sep="")
pie(ni,labels=e,main="Fruto preferido")



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# Exercício 2
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# Alínea a)
# ---------

# Vector com os dados.
x <- c(0, 2, 5, 1, 3, 3, 2, 4, 3, 4,
       2, 1, 1, 0, 2, 3, 3, 5, 1, 0,
       4, 3, 4, 5, 1, 0, 0, 2, 3, 1,
       0, 3, 3, 1, 2, 5, 2, 2, 4, 1,
       4, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 4, 0, 3)


# Frequências absolutas.
ni <- table(x)
# Nota: ni é um vector de inteiros em que os nomes das posições
# são as classes (neste caso, os valores de xi).

# Classes.
xi <- as.numeric(names(ni))

# Frequências relativas.
n <- length(x) # ou n <- sum(ni)
fi <- prop.table(ni) # ou fi <- ni/n

# Frequências relativas acumuladas.
Fi <- cumsum(fi)

# Tabela de frequências usando data.frame().
# Nota: A função I() preserva os nomes dos vectores.
tab <- data.frame(I(xi),I(ni),I(fi),I(Fi))
tab

# Remoção dos nomes atribuídos às linhas da tabela.
rownames(tab) <- c()
tab


# Alínea b)
# ---------

# Média
xbar <- mean(x) # ou xbar <- sum(xi*ni)/n
xbar

# Mediana
me <- median(x)
# ou
# xs <- sort(x)
# me <- (xs[n/2]+xs[n/2+1])/2 # n par
me

# Percentis
pct <- quantile(x,probs=c(0.25,0.5,0.75),type=1)
pct


# Alínea c)
# ---------

# Variância
s2 <- var(x) # ou s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*xbar^2)/(n-1)
s2

# Desvio padrão
s <- sd(x) # ou s <- sqrt(s2)
s

# Coeficiente de variação
cv <- 100*s/xbar
cv

# Amplitude interquartil
AI <- IQR(x,type=1) # ou AI <- pct[3]-pct[1]
AI


# Alínea d)
# ---------

# Coef. de assimetria.

# Uma possibilidade seria usar o pacote moments, que inclui as funções
# skewness(x) e kurtosis(x).
# install.packages(moments) # Se este pacote ainda não está instalado.
# library(moments) # Para carregar pacote na sessão de trabalho.
# a3 <- skewness(x)
# Nota: Esta versão não coincide com o modelo estudado!

# Assim, é melhor usar:
m3 <- sum((xi-xbar)^3*ni)/n
a3 <- m3/s^3
a3

# Conclusão: A distribuição é ligeiramente assimétrica positiva (enviesada
# à direita).



# Coef. de curtose.

# Uma possibilidade seria usar o pacote moments:
# a4 <- kurtosis(x)
# Nota: Esta versão não coincide com o modelo estudado!

# Assim, é melhor usar:
m4 <- sum((xi-xbar)^4*ni)/n
a4 <- m4/s^4
a4

# Conclusão: A distribuição tem caudas menos pesadas (é mais achatada) do que
# a distribuição normal.



# Alínea e)
# ---------

# Diagrama de caixa.
bp = boxplot(x)
bp$stats
# Nota: Os quartis de boxplot() podem não coincidir com os do modelo estudado!



# Alínea f)
# ---------

# Gráfico de barras.
bp = barplot(ni,ylim=c(0,15))

# Adicionar valores de ni no topo das barras.
nis <- as.vector(ni) # as.vector(x) não copia nomes de x.
text(bp,nis+1,labels=as.character(ni))



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# Exercício 3
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# Alínea a)
# ---------

# Média
Li <- seq(0,70,10)
Ls <- Li+10
xi <- (Li+Ls)/2
ni <- c(18,38,78,94,105,83,57,27)
n <- sum(ni)
xbar <- sum(xi*ni)/n
xbar

# Tabela de frequências
fi <- ni/n
Fi <- cumsum(fi)
cl <- paste("[",Li,", ",Ls,"[",sep="")
#tab <- data.frame(classes=cl,xi=xi,ni=ni,fi=fi,Fi=Fi)
tab <- data.frame(classes=cl,xi,ni,fi,Fi)
tab

# Mediana
hi <- Ls-Li
a <- 0.5 # Ordem do quantil.
k <- which(Fi>=a)[1] # Indice da classe mediana (1ª classe com Fi>=0.5).
k
if (k>1) {
	me <- Li[k]+hi[k]/fi[k]*(a-Fi[k-1])
} else {
	me <- Li[k]+hi[k]/fi[k]*a # Nota: F(x) = 0 no limite inf. do 1º intervalo.
}
me

# Percentis 25 e 75
a <- c(0.25,0.75)
k <- numeric(length(a)) # Cria vector de zeros com o tamanho do vector a.
for (i in 1:length(a)) k[i] <- which(Fi>=a[i])[1]
k
pct <- Li[k]+hi[k]/fi[k]*(a-Fi[k-1])
pct


# Alínea b)
# ---------

# Variância
s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*xbar^2)/(n-1)
s2

# Desvio padrão
s <- sqrt(s2)
s

# Coef. de variação
cv <- 100*s/xbar
cv


# Alínea c)
# ---------

# Coef. de assimetria
m3 <- sum((xi-xbar)^3*ni)/n
a3 <- m3/s^3
a3

# Conclusão: A distribuição é ligeiramente assimétrica negativa (enviesada
# à esquerda).

# Coef. de curtose
m4 <- sum((xi-xbar)^4*ni)/n
a4 <- m4/s^4
a4

# Conclusão: A distribuição tem caudas menos pesadas (é mais achatada) do que
# a distribuição normal.


# Alínea d)
# ---------

# Histograma
r <- rep(xi,ni) # Cria amostra de dados não agrupados com mesmos ni's
b <- seq(0,80,10) # Vector com limites das classes
hist(r,breaks=b,right=FALSE,main="Histograma",xlab="x",ylab="ni",ylim=c(0,120),labels=T)



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# Exercício 4
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# Alínea a)
# ---------

# Dados
x <- c(393, 203, 395, 237, 392, 224, 363, 298, 352, 240,
       207, 287, 258, 203, 214, 209, 204, 232, 285, 391,
       374, 317, 203, 203, 322, 206, 208, 268, 265, 399,
       361, 384, 208, 398, 215, 351, 245, 385, 382, 214,
       207, 211, 375, 213, 350, 395, 208, 321, 354, 348,
       362, 210, 344, 203, 334, 203, 391, 261, 250, 205,
       286, 271, 397, 215, 213, 227, 218, 398, 331, 362,
       219, 344, 396, 214, 382, 215, 382, 399, 251, 358,
       207, 356, 310, 212, 381, 204, 276, 339, 399, 211,
       372, 245, 394, 209, 306, 205, 350, 274, 306, 217)


# Nº de classes pela Regra de Sturges.
n <- length(x)
nc <- ceiling(1+log2(n)) # nc = 8

# Intervalos de classe.
xmax <- max(x)
xmin <- min(x)
h <- ceiling((xmax-xmin)/nc) # h = 25
Li <- seq(xmin,xmin+(nc-1)*h,h) # Ou Li <- seq(from=xmin,by=h,length=nc)
Ls <- Li+h

# Vector com limites das classes (breaks).
b <- Li; b[nc+1] <- Ls[nc]

# Factor com o intervalo de cada valor observado.
# Intervalo vai ser fechado à esquerda.
int <- cut(x,breaks=b,right=FALSE)

# Tabela de frequências
xi <- (Li+Ls)/2
ni <- table(int)
classes <- names(ni)
fi <- ni/n
Fi <- cumsum(fi)
tab <- data.frame(I(classes),I(xi),I(ni),I(fi),I(Fi))
rownames(tab) <- c() # Remove the row names of the dataframe.
tab


# Alínea b)
# ---------

# Média
xbar <- mean(x)
xbar

# Mediana
me <- median(x)
me

# Percentis
pct <- quantile(x,probs=0.75,type=1)
pct


# Alínea c)
# ---------

# Variância
s2 <- var(x) # ou s2 <- (sum(xi^2*ni)-n*xbar^2)/(n-1)
s2

# Desvio padrão
s <- sd(x) # ou s <- sqrt(s2)
s

# Coeficiente de variação
cv <- 100*s/xbar
cv


# Alínea d)
# ---------

# Histograma.
hist(x,breaks=b,right=FALSE,main="Histograma",xlab="x",ylab="ni",ylim=c(0,40),labels=T)



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# Exercício 5
#-----------------------------------------------------------------------------

# Alínea a)
# ---------

# Opção 1: Usar 2 vectores, x e y.
x <- c(1.61,1.65,1.69,1.71,1.82,1.88,1.93,1.97,2.01)
y <- c(62.7,65.3,68.3,64.7,75.4,80.6,82.7,87.2,98.5)

# Opção 2: Usar data frame.
dados <- data.frame(x=c(1.61,1.65,1.69,1.71,1.82,1.88,1.93,1.97,2.01),
                    y=c(62.7,65.3,68.3,64.7,75.4,80.6,82.7,87.2,98.5))


# Diagrama de dispersão.
# Opção 1
plot(x,y)

# Opção 2
#plot(dados)


# Alínea b)
# ---------

# Cálculo da recta de regressão (y = a+bx).

# i) Usando as funções do R para regressão linear:
#    .............................................

rr <- lm(y ~ x) # ou rr <- lm(y ~ x,dados)
rr # Equação da recta: y = -66.86 + 79.11x

# Nota 1: "y ~ x" significa que y é uma função de x, ou seja, x é a variável
# independente.

# Nota 2: rr é um objecto do tipo "list". Para confirmar, executar mode(rr).

# Extrair os coeficientes a e b do objecto rr e guardá-los num vector numérico.
coefs <- coefficients(rr)
coefs


# ii) Usando as fórmulas dadas nas aulas teóricas:
#     ............................................

#     A)Reproduzir estes cálculos no caderno, passo a passo.


#     B)Reproduzir estas fórmulas no R (TPC).

n <- length(x)
mx <- sum(x)/n # <=> mx <- mean(x)
my <- sum(y)/n # <=> my <- mean(y)
sxx <- sum(x^2)-n*mx^2
sxy <- sum(x*y)-n*mx*my
b <- sxy/sxx
a <- my-b*mx
c(a,b)


# Nota: Para adicionar a recta de regressão ao diagrama de dispersão pode-se
# usar a função abline().
abline(rr) # ou abline(a,b) ou abline(coefs)


# Alínea c)
# ---------

# i) Usando as funções do R para regressão linear:
#    .............................................

r <- cor(x,y)
r

# ii) Usando as fórmulas dadas nas aulas teóricas:
#     ............................................

#     A)Reproduzir estes cálculos no caderno, passo a passo.


#     B)Reproduzir estas fórmulas no R (TPC).

syy <- sum(y^2)-n*my^2
r <- b*sqrt(sxx/syy)
r

# Conclusão: É um bom ajuste porque |r| está próximo de 1.



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# Exercício 6
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# Alínea a)
# ---------

# Dados.
x <- c(15,20,30,40,50,60,80,90)
y <- c(38,75,120,168,234,277,400,444)

# Diagrama de dispersão.
plot(x,y)


# Alínea b)
# ---------

# Cálculo da recta de regressão (y = a+bx).

rr <- lm(y ~ x)
rr # Equação da recta: y = -41.295 + 5.419x

# Representação da recta sobre o diagrama de dispersão.
abline(rr)


# Alínea c)
# ---------

r <- cor(x,y)
r

# Conclusão: É um ajuste muito bom porque |r| está muito próximo de 1.


# Alínea d)
# ---------

coefs <- coefficients(rr)
a <- coefs[1]
b <- coefs[2]
x0 <- 70
y0 <- a + b*x0
y0